সম ও অসম সরলরৈখিক গতির গাণিতিক প্রকাশ ( Mathematical representation of uniform and non-uniform linear motion):
সম ও অসম সরলরৈখিক গতির গাণিতিক সমীকরণ গুলি হল:
- s = vt
- v = u + at
- s = ut + ½ at2
- v2 = u2 + 2as
- St = u + ½ a(2t – 1)
প্রথমে বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে ও পরে লেখচিত্রের সাহায্যে গতির সমীকরণ গুলিকে (kinematical equations) প্রতিষ্ঠা করবো।
বীজগাণিতিক পদ্ধতির সাহায্যে –
- s = vt
ধরা যাক, একটি বস্তু সুষম গতিবেগ v নিয়ে গতিশীল। সুতরাং, আমরা বলতে পারি বস্তুটি এক সেকেন্ডে v দূরত্ব অতিক্রম করে। অতএব, t সেকেন্ডে বস্তুটি যে দূরত্ব অতিক্রম করবে তা হল v.t ।
∴ t সেকেন্ডে বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব s হলে, s = vt (প্রমাণিত)
- v = u + at
ধরা যাক, কোন বস্তু সরলরেখা বরাবর a সমত্বরণে গতিশীল। বস্তুর প্রাথমিক বেগ u এবং t সময় পরে বস্তুটির অন্তিম বেগ হলো v ।
t বস্তুর বেগের পরিবর্তন = v – u
বস্তুর বেগের পরিবর্তনের হার = (v – u) / t
ত্বরণের সংজ্ঞা অনুযায়ী, বস্তুটির ত্বরণ a = (v – u) / t
বা, v – u = at
∴ v = u + at (প্রমাণিত)
বিশেষ ক্ষেত্র: (I) স্থির অবস্থা থেকে চলতে শুরু করলে বস্তুটির কোন প্রাথমিক বেগ থাকে না, অর্থাৎ u = 0, v = ut
(II) বস্তুটি মন্দন নিয়ে চললে a ঋণাত্মক (অর্থাৎ -a) হবে। সেক্ষেত্রে সমীকরণটি হয় v = u – at
(III) বস্তুটি অভিকর্ষ বলের অধীনে পতনশীল বা ঊর্ধ্বগামী হলে সমীকরণটি হবে v= u ± gt, g = অভিকর্ষজ ত্বরণ।
- s = ut + ½ at2
ধরা যাক, একটি বস্তুকণার প্রাথমিক বেগ u । বস্তুটি t সময় ধরে a সমত্বরণে চলার পর v হল এবং s দূরত্ব অতিক্রম করে। যেহেতু কণাটি সমত্বরণে গতিশীল t সময়ে কণার গড় বেগ vavg= (u + v)/2
সুতরাং t সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব s = vavg.t
বা, s = {(u + v) / 2}.t
বা, s = {(u + u + at) / 2}.t [∵ v = u + at ]
বা, s = {(2u + at) / 2}.t
বা, s ={u + ½ at)}.t
∴ s = ut + ½ at2 (প্রমাণিত)
বিশেষ ক্ষেত্র: (I) স্থির অবস্থা থেকে চলতে শুরু করলে u = 0, ∴ s = ½ at2
(II) বস্তুটি মন্দন নিয়ে চললে a ঋণাত্মক (অর্থাৎ -a) হবে। সেক্ষেত্রে সমীকরণটি হবে s = ut – ½ at2
(III) বস্তুটি অভিকর্ষ বলের অধীনে পতনশীল বা ঊর্ধ্বগামী হলে সমীকরণটি হবে h = ut ± ½ gt2 , যেখানে h = উচ্চতা, g = অভিকর্ষজ ত্বরণ ।
- v2 = u2 + 2as
ধরা যাক, একটি বস্তুকণা u প্রাথমিক বেগ নিয়ে যাত্রা শুরু করে t সময়ে a সমত্বরণে s দূরত্ব অতিক্রম করার পর বেগ v হল ।তাহলে আমরা লিখতে পারি,
v = u + at
বা, v2 = (u + at)2 [উভয় পক্ষে বর্গ করে ]
বা, v2 = u2 + 2.u.at + a2t2
বা, v2 = u2 + 2a(ut + ½ at2)
বা, v2 = u2 + 2as [∵ s = ut + ½ at2 ]
∴ v2 = u2 + 2as (প্রমাণিত)
বিশেষ ক্ষেত্র: (I) স্থির অবস্থা থেকে চলতে শুরু করলে u = 0, ∴ v2 = 2as
(II) বস্তুটি মন্দন নিয়ে চললে a ঋণাত্মক (অর্থাৎ -a) হবে। সেক্ষেত্রে সমীকরণটি হবে v2 = u2 – 2as
(III) বস্তুটি অভিকর্ষ বলের অধীনে পতনশীল বা ঊর্ধ্বগামী হলে সমীকরণটি হবে v2 = u2 ± 2gh , যেখানে h = উচ্চতা, g = অভিকর্ষজ ত্বরণ ।
লেখচিত্রের সাহায্যে গতির সমীকরণগুলির প্রমাণ (Graphical proof of kinematical equations):
- s = vt
ধরা যাক, একটি বস্তু v সমবেগে গতিশীল । বস্তুটির গতিবেগ – সময় লেখচিত্র হবে সময় অক্ষের সমান্তরাল ( চিত্রে AC )। OA বস্তুটির বেগ v-কে এবং OB অতিক্রান্ত সময় t-কে নির্দেশ করে । ওই t সময়ে বস্তুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব (s) = OACB আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = OA X OB = v x t
∴ s = vt (প্রমাণিত)

2. v = u + at

ধরা যাক, একটি বস্তু u প্রাথমিক বেগ নিয়ে যাত্রা শুরু করে t সময় ধরে a সমত্বরণে s দূরত্ব চলার পর v বেগ লাভ করে । ওপরের চিত্রে OA = বস্তুর প্রাথমিক বেগ = u, OD = সময় = t, এবং BD = অন্তিম বেগ = v
x-অক্ষের সমান্তরাল করে AC সরলরেখা আঁকা হল । এটি BD কে C বিন্দুতে ছেদ করে ।
∴ AC = OD = u
∴ বস্তুটির ত্বরণ, a = বেগের বৃদ্ধি / সময়
বা, a = (BD – CD) / OD
বা, a = BC / AC
বা, a = AB সরলরেখার নতি = m [ নতিকে m দিয়ে প্রকাশ করা হয় ]
আমরা জানি, m নতিবিশিষ্ট কোন সরলরেখার y-অক্ষ থেকে ছেদিতাংশ c হলে সরলরেখার সমীকরণ হয়
y = mx + c
AC সরলরেখার ক্ষেত্রে ওপরের সমীকরণে মান বসিয়ে পাই v = at + u
∴ v = u + at (প্রমাণিত)
3. s = ut + ½ at2

ধরা যাক, একটি বস্তু u প্রাথমিক বেগ নিয়ে যাত্রা শুরু করে t সময় ধরে a সমত্বরণে s দূরত্ব চলার পর v বেগ লাভ করে । ওপরের চিত্রে OA = বস্তুর প্রাথমিক বেগ = u, OD = সময় = t, এবং BD = অন্তিম বেগ = v
x-অক্ষের সমান্তরাল করে AC সরলরেখা আঁকা হল । এটি BD কে C বিন্দুতে ছেদ করে ।
∴ AC = OD = CD = u
∴ বস্তুটির ত্বরণ, a = বেগের বৃদ্ধি / সময়
বা, a = (BD – CD) / OD
বা, a = BC / AC
কোন নির্দিষ্ট সময়ে বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করতে হলে বেগ-সময় লেখচিত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে ।
∴ t সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব (s) = OABD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
s = OACD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ACB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
s = OA x OD + ½ x AC x BC
s = OA x OD + ½ x AC x AC x a
∴ s = ut + ½ at2 (প্রমাণিত)
4. v2 = u2 + 2as

ধরা যাক, একটি বস্তু u প্রাথমিক বেগ নিয়ে যাত্রা শুরু করে t সময় ধরে a সমত্বরণে s দূরত্ব চলার পর v বেগ লাভ করে । ওপরের চিত্রে OA = বস্তুর প্রাথমিক বেগ = u, OD = সময় = t, এবং BD = অন্তিম বেগ = v
x-অক্ষের সমান্তরাল করে AC সরলরেখা আঁকা হল । এটি BD কে C বিন্দুতে ছেদ করে ।
∴ AC = OD = CD = u
∴ বস্তুটির ত্বরণ, a = বেগের বৃদ্ধি / সময়
বা, a = (BD – CD) / OD
বা, a = BC / AC
কোন নির্দিষ্ট সময়ে বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করতে হলে বেগ-সময় লেখচিত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে ।
∴ t সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব (s) = OABD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
s = ½ x OD x (OA + BD)
বা, 2s = AC x (OA + BD)
বা, 2s = (BC / a) x (OA + BD)
বা, 2as = (BD – CD) x (BD + OA)
বা, 2s = (BD – CD) x (BD + OA)
বা, 2s = (BD – OA) x (BD + OA)
বা, 2s = (v – u) x (v + u)
বা, 2s = (v2 – u2)
v2 – u2 = 2as
∴ v2 = u2 + 2as (প্রমাণিত)